Le peu que je connais de l’analyse dimensionnelle se résume au b-a-ba de la vérification de l’homogénéité des formules et qui m’a beaucoup servi pour alléger la charge mentale nécessaire pour retenir lesdites formules.
La démonstration, reprise dans les articles WP cités ci-dessus, est (un peu…) abstraite. Ce que j’en comprends, c’est que les quantités sans dimension peuvent (fréquemment) être considérées comme des paramètres (fixes) décrivant le système (d’où les nombres de Reynolds, de Mach, …) et donc caractéristique du système en question.
Ceci dit, dans l’article sur l’analyse dimensionnelle, ▻https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_dimensionnelle#Énergie_d'une_bombe_atomique le cas de la bombe atomique est décrit complètement et montre qu’historiquement G. I. Taylor n’a pas utilisé le raisonnement présenté mais un développement beaucoup plus long au bout duquel il a expérimentalement vérifié la relation et constaté que le rapport sans dimension ne dépendait pas de la température ce qui n’était pas forcément évident a priori.
Autre point rigolo, dans ce même article, le constat empirique suivant, qui justifie la disparition de la constante (qui m’a aussi un peu interloqué : qu’est-ce qui garantit qu’elle n’est pas d’un ordre de grandeur élevé (ou faible) ?) :
L’analyse dimensionnelle ne permet de trouver l’équation physique qui gouverne le phénomène, qu’à une constante numérique k près, sans dimension, et que cette méthode ne peut donc pas déterminer. Il faut faire un calcul explicite complet pour la trouver (ou une mesure expérimentale pour la déterminer). L’expérience montre cependant que, dans un système d’unités adapté au problème étudié, cette constante k est toujours de l’ordre de grandeur de 1 (au sens où π ~ e ~ 1), d’où la pertinence de l’analyse dimensionnelle pour prévoir la forme du résultat d’un calcul, ainsi que son ordre de grandeur.
et, au début du même paragraphe ▻https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_dimensionnelle#«_Principe_zéro_»_de_la_physique_théorique ce « principe » provocateur :
« Ne jamais faire de calculs avant d’en connaître le résultat ».